原问题：自旋在磁场中若何演化 ？《张背阴的自旋中物理课》合成斯特恩-盖拉赫试验

奈何样借助斯特恩-盖拉赫试验装置制作出特定的自旋态？自旋态在磁场中会奈何样演化？5月26日12时 ，《张背阴的磁场物理课》第一百四十五期开播，搜狐独创人、何演化张合成董事局主席兼CEO 、背阴物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间 ，理课先给网友们温习了上一次直播课介绍的斯特自旋的二维子空间及其上的态、算符的自旋中矩阵展现，而后推导了恣意倾向的磁场自旋算符的本征态表白式，并经由斯特恩-盖拉赫试验介绍了奈何样制作出特定的何演化张合成自旋态以及若何验证量子力学的假如
。最后，背阴张背阴合成了自旋态在磁场中随光阴的理课演化，患上到了拉莫尔进动的斯特服从 。

温习斯特恩-盖拉赫试验 简述各个倾向的自旋中自旋算符

在上一次直播课中 ，张背阴介绍了斯特恩-盖拉赫试验。磁场银原子经由加热会进入试验装置中 ，何演化张合成凭证上一次直播课所建树的坐标系，银原子受到的力可能类似为

其中μz是银原子磁矩在z倾向上的份量，k是z倾向的单元矢量。

凭证以前的介绍，银原子的平动行动可能用典型力学来类似合成。假如银原子的入射速率为v，在试验装置中所破费的光阴为t ，那末银原子水平飞过的道路为

假如力F导致银原子在z正倾向具备的减速率为a
，将其类似为常数，那末在光阴t内，银原子在z倾向的偏离为

其中m是银原子的品质。

在典型力学中，假如银原子的磁矩巨细μ坚持牢靠，那末由于出射时银原子的磁矩倾向是恣意的，则μz可能取到区间[-μ,μ]中的任何值 ，即银原子在z倾向的偏离是不断取值的 ，这象征着银原子在试验装置前面的屏上会组成不断的扩散 。

可是，试验服从表明银原子只扩散在对于x轴对于称的两个辨此外狭窄地域上，这剖析μz的取值只能是互为相同数的两个值 。在如今的情景下，μz只能取互为相同数的两个值是由电子自旋导致的。

在上一次直播课介绍到，自旋态空间是一个二维的希尔伯特空间。思考z倾向的自旋算符Sz ，它具备两个本征态|+〉以及|-〉
，知足

Sz是可审核量，假如对于Sz妨碍了丈量，那末只能患上到±ћ/2这两个值之一，而且态会坍缩到对于应的本征态。假如初始态是

那末丈量Sz后患上到ћ/2的多少率为|α|^2，患上到-ћ/2的多少率为|β|^2 。

在上一次直播课也介绍了自旋算符三个直角坐标份量的矩阵方式：

假如漠视其中的因子ћ/2 ，那末将会患上到被称为“泡利矩阵”的三个矩阵：

无意也会将它们的下标x
、y、z记为一、二、3 。

Sx与Sy的本征态分说为

（张背阴温习上一次直播课的内容）

推导恣意倾向的自旋本征态 合成斯特恩-盖拉赫试验服从

前面介绍了这么多，都是自旋态空间上的内容。而除了态空间，这里还需要打仗到的一个空间是咱们所处的三维位置空间 ，艰深由直角坐标(x,y,z)形貌 ，尽管也可能用球坐标(r,θ,ϕ)来形貌。在三维位置空间中 
，可能用矢量n来展现指向(θ,ϕ)的倾向：

张背阴介绍说  ，将n中的三个直角坐标基矢换成对于应的泡利矩阵就能患上到展现n倾向的自旋份量S_n=n·S的矩阵（相差常数ћ/2） ：

在上一次直播课中，张背阴世接写出了σ_n的本征矢量。而在这次直播课中 ，张背阴介绍了求解本征矢量的历程 。由于已经知道自旋份量的取值只能是±ћ/2，因此可能知道σ_n的本征值是±1。设σ_n对于应于+1的本征矢量为

那末有

由此可能患上到

移项可患上

运用正弦 、余弦的二倍角公式，可能患上到

化简，就患上到了

于是，S_n的正自旋的本征态为

漠视上式第二行括号外的因子，可能将|+〉_n取为

用列矢量的方式可能展现为

患上到恣意倾向的自旋本征态之后，张背阴回到了斯特恩-盖拉赫试验上来。银原子出射的时候自旋倾向是随机的，因此经由试验装置后，银原子落到x轴下面的地域的多少率与落到x轴下面的地域的多少率至关 ，都是1/2。

假如将试验装置绕y轴旋转角度θ，坚持原本的坐标架不动 ，那末此时装置丈量的角动量份量为S_n
，这里的n指向为(θ,0)。S_n的本来征值对于应的本征态为

假如在此本征态对于应的屏幕位置配置一个洞
，使患上处于|+〉_n态的银原子穿过这个洞而不会落在屏幕上，那末凭证量子力学的丈量假如 ，可能穿过这个洞的银原子都由于丈量而坍缩在了态|+〉_n上
。

在洞后再配置一个斯特恩-盖拉赫试验装置，丈量Sz，那末银原子处于x轴上方的多少率为(cos(θ/2))^2，处于x轴下方的多少率为(sin(θ/2))^2。

当角度θ比力小时
，银原子出如今上方的多少率将会大于出如今下方的
，这个服从与前面单个斯特恩-盖拉赫试验装置的服从差距 。试验服从与这里的实际合因素比方，从而该试验验证了量子力学的假如。

张背阴还填补到
 ，假如把入射银原子看成是光 ，那末第一个斯特恩-盖拉赫试验装置就至关于偏振片，将特殊“偏振”倾向的银原子筛选进去。

（张背阴合成斯特恩-盖拉赫试验）

妄想哈密顿算符 合成自旋态的演化

课程挨近序幕的时候，张背阴猛然见告网友们 ，前面的合成轻忽了颇为紧张的一点因素 ，那便是光阴的演化 。银原子经由试验装置是需要破费光阴的  ，而在这个光阴内银原子的态也会爆发修正，那末前面这些合成还依然建树吗？带着这个疑难
，张背阴介绍了自旋态在磁场中的演化。

凭证磁矩在磁场中具备的势能，可能患上到磁矩μ在磁场中的哈密顿算符为

其中假如了磁场沿z倾向 ，磁感应强度巨细为B0。又由于磁矩正比于自旋
，设比例常数为γ，换言之μz=γ*S_z
，于是

此中用ω0展现了系数(-γ*B0)，它具备角频率的量纲。从上式可能知道，哈密顿算符与S_z可对于易 ，因此|+〉以及|-〉都是能量本征态
，知足

设银原子进入磁场时(t=0)的初始自旋态为

这样假如是公平的
 ，由于任何自旋态都可能在漠视一个部份相位因子的情景下经由抉择适量的θ与ϕ展现成如上方式。上式表明初始态的自旋是指向(θ,ϕ)倾向的
 。

为了钻研态的演化 ，就需要用到薛定谔方程：

由于已经知道哈密顿算符的本征态是|+〉以及|-〉了，从而可能直接患上到

其中

分说是|+〉以及|-〉对于应的能量。将其代入态的表白式中可能患上到

可见t光阴银原子的自旋指向为(θ,ϕ+ω0*t) ，也便是说 ，银原子的自环抱着z轴以角频率ω0旋转
。这便是驰名的拉莫尔进动。

另一方面，从这个服从可能看出
，思考了光阴演化之后，银原子被测患上处在|+〉与|-〉的多少率都不修正，因今前面对于斯特恩-盖拉赫试验的合成是不受影响的。

（张背阴合成自旋态在磁场中的演化）

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